Koch'sche Kurve - Schneeflockenkurve

Inhalt

Allgemeines
Herstellung
Besondere Eigenschaften
Unser Auftrag
Komplikationen
Unsere Lösung

Chaos-Theorie
Mathematik

Allgemeines

Die Koch’sche Flockenkurve wurde um 1900 vom Mathematiker von Koch gefunden. Schon früher waren ähnliche fraktale Kurven in der Mathematik bekannt, jedoch in anderem Zusammenhang. Da sie, wenn sie vom vollständigen Dreieck ausgehend gezeichnet wird, schneeflockenähnlich uns erscheint, kennt man sie auch als Schneeflockenkurve.

Herstellung

Zum Erstellen der Kurve geht man von einem gleichseitigem Dreieck aus (Abb. 1). Man teilt alle Seiten der Figur in drei Teile (Abb. 2) und fügt auf das innere Teilstück ein gleichseitiges Dreieck mit Grundseite der Drittelsseite zu (Abb. 3). So entsteht, wenn man den Umriss der entstandenen Figur nimmt, eine neue Figur (Abb. 4), mit welcher man genauso verfahren muss, wie mit dem Anfangsdreieck. Führt man diese Schritte weiter bis zur Unendlichkeit, entsteht die Koch’sche Flockenkurve.

Besondere Eigenschaften

Die Koch'sche Kurve hat einige sehr interessante Eigenschaften. Wir können an dieser Stelle niemals alle im Detail behandeln; auf einige wollen wir aber näher eingehen:

Wenn irgendein Teil der Figur entfernt wird, so ist dieser ähnlich einem beliebig anderen Teilstück. Diese Eigenschaft nennt man Selbstähnlichkeit:
Ein Gebilde heisst selbstähnlich (skaleninvariant),
wenn es ähnlich einem Teil von sich ist.

Anders als die Julia- und die Mandelbrot-Menge (Apfelmännchen) ist die Flockenkurve eine Kurve und keine Menge. So wird die Juliamange und die Mandelbrotmenge durch die Iteration einer Formel mit Eingabewerten aus einer Matrix erstellt. Die Koch'sche Flockenkurve ist jedoch eine Kurve, die durch iterives teilen und hinzufügen entsteht. Sie ist keiner Matrix zugrunde gelegt. Die Kurve entsteht aus ihrer selbst und nicht durch fremde Eingabewerte.

Die Kurve ist in ihrer Länge unendlich. Das ist deshalb sehr interessant, weil sie von einer endlichen Länge, der eines Dreieicks, ausgeht. Wenn nun aber die Iterationen durchgeführt werden, wird die Länge jeden Schritt um 1/3 der Gesamtlänge erweitert. Da man die Iterationen unendlich fortführen kann, wird die Länge auch unendlich mal 1/3 länger, was eine unendlich lange Kurve ergibt.

Unser Auftrag

Unser Auftrag lautete, die Koch’sche Flockenkurve von einem Computer mittels einem Programm entstehen zu lassen. Der Computer sollte die Kurve schrittweise aufbauen und diese Schritt für Schritt entstehen lassen. Uns wurde dazu Turbo Pascal 7.0 zur Verfügung gestellt. Wir hatten jedoch zu wenig Kenntnisse der Sprache, um Grafikprogrammierung und mathematische Funktionen gleichzeitig vollziehen zu können. Uns fehlte die Zeit, uns in die neue Sprache einzuarbeiten und auch noch das komplexe mathematische Problem, die Flockenkurve iterativ zu errechnen.

Komplikationen

Probleme entstehen bei der Errechnung dieser Kurve. Man muss, sofern man nicht die plumpe "Zeichnen"-Methode wählt, die Punkte errechnen, die neu entstehen. Dies ist nur mit trigonometrischen Funktionen möglich, falls man die Grafik auch beliebig drehen möchte. Ausserdem soll die Berechnung rekursiv iterativ erfolgen. Dies bietet eine Schwierigkeit mehr.

Unsere Lösung

Wir erstellten das Programm, es errechnet die Kurve rekursiv iterativ. Zuerst wird ein Rechteck gezeichnet. Mit einem Tastendruck kann der nächste Schritt gestartet werden. Dies lässt sich bis zu vier Schritte verfolgen, danach ist die Auflösung zu ungenau.

1. Variante

Turbo Pascal Executable for DOS

Turbo Pascal Source Code as ASCII-File

2. Variante

Im Internet eine Java-Lösung dieses Problems inklusive allen Source-Dateien bereit. (Kleiner Tipp für Java-Interessierte: Unter http://www.comp.utas.edu.au/java/jdkdemos/ können auch Java-Programme zu anderen Themen gefunden werden.)

Winword-Datei

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